הפרכת טענת חכמי קיסרי
טענות חכמי קיסרי :
א. היקף מעגל החוסם ריבוע שאורך צלעו ארבעה טפחים הוא 24.
ב. גודל אלכסון הריבוע גדול פי שניים מצלעו.

טענה מפריכה:
אוכיח שהיקף מעגל כנ"ל הוא 16.8 טפחים ולא 24 כטענתם.
גודל אלכסון הריבוע גדול פי 1.4 מצלעו.

הוכחת הטענה המפריכה:
בשיטת חכמי קיסריה נקבל שקוטר המעגל = 8 לפי החישוב הבא:
היקף המעגל הוא 24 ולפי הכלל "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" (פירוש הכלל הוא: היקף המעגל גדול פי 3 מקוטרו) נקבל:
קוטר המעגל = 8 = 3 / 24.

עד כאן פשוט.

אין ספק שבחישובי יחס אלכסון וצלע של ריבוע חייב להתקיים הכלל "כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא" היינו צריך להתקיים שהיחס בין אורך האלכסון של ריבוע לצלעו יהא תמיד הגודל הקבוע 1.4 .

נפעיל את הכלל על הריבוע החסום במעגל בשיטת חכמי קיסריה:
אורך צלע הריבוע = ארבעה טפחים.
האלכסון (הקוטר אותו חישבנו קודם) = 8
מכאן שהיחס בין האלכסון לצלע הוא 2
וזו סתירה למחוייב להתקבל כיחס שקבעו בגמרא שהוא 1.4
מסקנה: היקף המעגל לא יכול להיות 24 טפחים.

אם נפעיל נכון את הכלל "כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא"
היינו שהאלכסון של הריבוע גדול פי 1.4 מאורך צלעו נקבל:
אורך אלכסון הריבוע: 3⁄55=4 X1.4.
אלכסון הריבוע הוא קוטר העיגול .
לפי הכלל " כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" – נקבל:
היקף המעגל = 16.8 .

מסקנה: עפ"י כללי הגמרא אי אפשר לקבל את חישובם של חכמי קיסריה .

טעותם היא בכך שהניחו שאפשר להשוות בין היקף לשטח. ולא היא!

הנה כך אפשר להראות את טעותם:
נעביר בריבוע את האלכסונים ונקבל ארבעה משולשים. אפשר בקלות להראות ששטח כל אחד מהם הוא חצי ריבוע הקוטר.
מהנ"ל אנו מקבלים מיד ששטח כל הריבוע יהא פעמיים ריבוע הקוטר שלא כשיטת הגמרא שצריך להיות שלוש פעמים ריבוע הקוטר !

בחישוב פשוט נוסף נקבל ששיטחו של העיגול החוסם הוא פי אחד וחצי משטח הריבוע.

הכל מראה שחכמי קיסריה חשבו שאותו חישוב ומחשבה אפשר לעשות עם ההיקף – דבר שכמובן אינו נכון.